Potencia Cero

006 – ¿Por qué cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno?

X01A

Las matemáticas también son interesantes, implican razonamientos muy lógicos que en ocasiones pueden tomarnos… mucho tiempo para poder comprenderlos. Justamente esto me sucedió hace poco:

Poco antes de entrar a una clase tuve un recuerdo express de mis clases de matemáticas de la secundaria en donde la profesora (COP) decía que “cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno” pero en ese momento no dijo por qué, simplemente era así y punto. Duro como matemática. En ese momento pensé que debía haber una razón y luego de escribir un poquito de álgebra me encontré con la demostración de tan extraño argumento y te comentaré mis conclusiones aquí mismo, pero primero unos detallitos preliminares:

  • Un número elevado a una potencia significa que ese mismo número se multiplica por sí mismo el número de veces que diga la potencia:

    X01B
    [(2^3)=2X2X2 = 8]

  • Haciendo un poco de álgebra, sabemos que es posible “separar” las potencias en factores y no cambiará el resultado que es el número elevado a la suma de los exponentes:

    X01C
    [2^4 = 2X2X2X2 = (2^2)X(2^2) = 16]

  • Un exponente negativo significa que el número es un denominador (el numerito de abajo en las fracciones) y uno positivo significa que… es el numerito de arriba:

    X01D
    [(X^-1) = 1/X]

Teniendo en cuenta estas tres propiedades, podemos hacer el siguiente razonamiento:

X01E
[[ X^0=(X^+1)(X^-1)=X/X=1 ]]

Claro que en vez de 1, podría ser n o cualquier otro número, el resultado es el mismo.

Y por lo tanto… era cierto lo que decía la profesora de matemáticas, pero es más divertido cuando el razonamiento llega solito (aunque tarde diez años)…

Actualización: En los comentarios, Diana nos indica que este razonamiento aplica para cualquier número excepto 0 pues cuando X=0 no funciona. ¡Muchas gracias!

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38 comments

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  1. o_O Wow! Ahora todo tiene sentido en mi vida! Omg! Estamos dentro de la Matrix x_X

  2. Hehe, bienvenido a la Matrix Luis, disfrútala

  3. jeje, perdón por decir esto pero éste razonamiento está mal:

    X^6=(X^2)*(X^3)
    _________

    (X^2)*(X^3)=X^5

    ya que en este caso los exponentes se suman.

  4. Ah! tienes razón Jorge, muchas gracias. Lo corregiré prontamente ^___^

    —-
    Corregido!

  5. Glorioso.

  6. y si elevo -4^0 me da 1 o -1????

  7. Desde luego, haz la prueba:

    -4^0 = -4^-1 * -4^1 = -4/-4 = 1

    • Ale on December 7, 2007 at 00:04
    • Reply

    y que pasa se eleva una matriz a cero
    ej: [0 0] ^ 0

  8. hmm… no lo sé, quizás me lleve otros 10 años averiguarlo (o tal vez no) pero tal vez alguien que pase por aquí lo sepa 😀 el poder de internet!

    • draco on April 17, 2008 at 08:24
    • Reply

    ni 1 sabe la respuesta al pregunta mas boluda¿por que todo numero elevado a la cero da como resultado 1? el que me responde bien tendra un lujoso prmio.

    • lizett pallauta toro on May 26, 2008 at 19:04
    • Reply

    hola saben? todavia no entiendo el profesor .dio a explicar esto pero no tengo un razonamiento logico .no me han enseñado

    mi pregunta es ¿porque un numero elevado ha cero me da 1?

  9. Hola Lizett, te recomiendo que leas esta página desde el inicio o bien que observes detenidamente las imágenes donde explico paso a paso el razonamiento lógico que explica cómo es que cualquier número elevado a cero da uno.

    No te desesperes si no lo captas a la primera, puede tomar un rato.

    Saludos!

    • Luigi on August 21, 2008 at 08:14
    • Reply

    hey gracias me salvaste de una de broncas jajaja bno esta muy completo y de nuevo gracias

  10. Me alegro que te sirviera Luigi, si lo usarás para tu tarea no olvides mencionar de dónde lo sacaste 😉

    • totoxa on October 14, 2008 at 11:41
    • Reply

    Esta bueno, no sabia por que esto era asi, de esta forma deberian explicarlo en las escuelas, no que las cosas son asi solo por que son asi.

    • daniela on November 3, 2008 at 08:31
    • Reply

    hola bueno no se
    si tu seas
    de poza rica pero yo voy a la
    esbo en la
    tarde
    y nos da la
    maestra mara lilia
    y ella no nos
    quizo decir el porq
    y pues yo
    quize saber
    y esta chida
    tu razonamiento
    eres chingon
    y no te ofendas
    bueno
    bye
    y gracias
    por
    aclarar mis
    dudas
    bueno bye

    • Alex on March 20, 2009 at 13:02
    • Reply

    Parece que en tu repaso dice x^-1 = 1/x,y * x no es igual a 1.

  11. Alex, gracias por tu comentario. Estoy de acuerdo contigo en que en ese ejemplo X no es igual a 1, pero eso no es lo que significa sino “equis a la menos uno es igual a uno sobre equis” o sea que X(elevado a -1)= 1/X (uno entre equis).

    Saludos!

    • tamara on April 6, 2009 at 16:38
    • Reply

    gracias, saben gracias a sus respuestas e podido entender un poco mas y poderme contestar esta pregunta

    • Diana on May 18, 2009 at 11:12
    • Reply

    x^0=x^1*x^-1 para todo x0 !!!

    si x=0 no es válido x^-1

    Solo te queda salvar ese caso. Quizá por inducción.
    Utilizando límites con x->0 tambien funciona.

    Saludos!

  12. Tienes razón Diana, si X=0 este razonamiento ya no funciona, pero para no complicar las cosas podríamos concluir que se aplica para cualquier número excepto el 0.

    Voy a actualizar la entrada, muchas gracias!

    • julieta on May 19, 2009 at 13:58
    • Reply

    No comprendo todabia porque recien estoy viendo el tema pero podrias explicarlo de otra manera asi puede ser que legue a entender porque lo nesesito para u traba que es este :
    Deacuerdo con la propiedades intanta justificar porque n a la 0=1 y n a la 1= n
    atte muchas gracias

  13. No sé cómo explicarlo más fácil, Julieta. Intenta leer nuevamente esta entrada y ten en cuenta las propiedades de los exponentes. Decir “n a la 0” es lo mismo que “X a la 0” o “b a la 0”, la letra no afecta en nada pues n o X quiere decir “cualquier número”.

    Y sobre n a la 1, recuerda que una multiplicación quiere decir “tantas veces tal cosa” y un exponente quiere decir “multiplicar tantas veces tal número por si mismo” o sea que n^1=1 porque sólo está una vez (n) mientras que n^2=2n=n*n

    • fer on June 12, 2009 at 10:22
    • Reply

    hola bueno acabo de ver la entrada y me ayudo bastante gracias por ayudarme a comprender me salvaste la vida y parte de mi carrera jeje XD

    1. me alegro que te haya podido ayudar, si te gustó no olvides decir en dónde lo viste XD

    • nadia on February 3, 2010 at 17:24
    • Reply

    tu si sabes pero porque da 1

  14. aaaaaaaaaaaaaaaaa

    • loco on February 14, 2010 at 17:18
    • Reply

    ej. [N*N]^0=1 ——–> [3*3]^0=[9]^0= 9^0=1

    CONCLUSION [n n]^0=1 pero n=!0 si n=0 es indefinido,es decir como puedes elevar nada a la nada.

  15. saluditos pues no entendi nadas jajaj bay

    • karen on September 13, 2010 at 20:43
    • Reply

    hay mil grazias por thu explicacion. al principio no entendii peroo razones con cuidado y volvii a checarlo. esta informacion la utilize para el pase para hacer mi examen!! miil graziias te amoo!! =)

    • koni on September 26, 2010 at 18:14
    • Reply

    Hola, necesito saber cual es el valor de (-2y)^0 ya sé que todo numero elevado a cero vale 1, pero que pasa con la letra y”? se ve afectada el signo menos favor explicar en palabras simples para entenderlo…… estare muy agradecida.

  16. la letra Y (o cualquier otra letra) representa “un número cualquiera” y a menos que Y=0, siempre es 1. y lo que dice tu ecuación es lo siguiente:

    (-2) por (cualquier número excepto 0) elevado a 0 es igual a 1

    No puede ser 0 porque en ese caso quedaría 0/0.

    Entonces la respuesta es: no importa qué letra uses, si ésta equivale a cualquier número, excepto el 0, siempre siempre siempre será igual a 1 si lo elevas a 0.

    Espero que esto conteste tu pregunta.

    • alexis on April 8, 2011 at 09:16
    • Reply

    muchas gracias por el aporte yo tambien estudio matematica e hice un razonamiento similar con la diferencia que usaba 2 letras una “x´´ y una “y´´ la primera representaba a cualquier numero y la segunda lo tomaba como un simbolo nulo (cero) eso lo descubri haciendo pasajes en distintos sistemas de numeracion. Igual una explicacion mas clara que esta no hay, pasa que por ahi te salteas unos pasos logicos por asi decirlo y algunos no llegan a comprender. saludos y gracias muy bueno

  17. he!! gracias me ayudaste con esto me daran 5 puntos de examen por esto wow x3

  18. e igual esoty en secundaria y me preguntan esto :3

    • Alex on October 20, 2011 at 16:14
    • Reply

    HOLA ME PUEDEN DECIR CUANTO ES (XY) ^0 X = 1 PERO QUE PASA CON “Y” SE AFECTA POR EL EXPONENTE

    1. La respuesta es muy sencilla, yo creo que puedes deducirla tú mismo 😉 piensa en qué pasa cuando tienes XY solitos, ¿eso qué significa? piensa en números si quieres, qué pasa cuando tienes (2)(3) (dos por tres) esos dos números son uno solo, 6, lo mismo pasa en Álgebra, pero X significa cualquier número, y Y significa cualquier otro número. Como si tuvieras (15)(34) o (8)(16) o cualquier otra combinación…

      así que… tú dinos, ¿qué pasa con Y?

  19. alguien me puede decir esta respuesta si la base es 1008937392178 y el exponente 137892379 cuantos es porfa es para un examen de mate ayúdenme

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