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Jun 09

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Potencia Cero

006 – ¿Por qué cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno?

X01A

Las matemáticas también son interesantes, implican razonamientos muy lógicos que en ocasiones pueden tomarnos… mucho tiempo para poder comprenderlos. Justamente esto me sucedió hace poco:

Poco antes de entrar a una clase tuve un recuerdo express de mis clases de matemáticas de la secundaria en donde la profesora (COP) decía que “cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno” pero en ese momento no dijo por qué, simplemente era así y punto. Duro como matemática. En ese momento pensé que debía haber una razón y luego de escribir un poquito de álgebra me encontré con la demostración de tan extraño argumento y te comentaré mis conclusiones aquí mismo, pero primero unos detallitos preliminares:

  • Un número elevado a una potencia significa que ese mismo número se multiplica por sí mismo el número de veces que diga la potencia:

    X01B
    [(2^3)=2X2X2 = 8]

  • Haciendo un poco de álgebra, sabemos que es posible “separar” las potencias en factores y no cambiará el resultado que es el número elevado a la suma de los exponentes:

    X01C
    [2^4 = 2X2X2X2 = (2^2)X(2^2) = 16]

  • Un exponente negativo significa que el número es un denominador (el numerito de abajo en las fracciones) y uno positivo significa que… es el numerito de arriba:

    X01D
    [(X^-1) = 1/X]

Teniendo en cuenta estas tres propiedades, podemos hacer el siguiente razonamiento:

X01E
[[ X^0=(X^+1)(X^-1)=X/X=1 ]]

Claro que en vez de 1, podría ser n o cualquier otro número, el resultado es el mismo.

Y por lo tanto… era cierto lo que decía la profesora de matemáticas, pero es más divertido cuando el razonamiento llega solito (aunque tarde diez años)…

Actualización: En los comentarios, Diana nos indica que este razonamiento aplica para cualquier número excepto 0 pues cuando X=0 no funciona. ¡Muchas gracias!

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38 comments

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  1. Luis Bond

    o_O Wow! Ahora todo tiene sentido en mi vida! Omg! Estamos dentro de la Matrix x_X

  2. AleieX

    Hehe, bienvenido a la Matrix Luis, disfrútala

  3. Jorge XP

    jeje, perdón por decir esto pero éste razonamiento está mal:

    X^6=(X^2)*(X^3)
    _________

    (X^2)*(X^3)=X^5

    ya que en este caso los exponentes se suman.

  4. AleieX

    Ah! tienes razón Jorge, muchas gracias. Lo corregiré prontamente ^___^

    —-
    Corregido!

  5. Evolutionibus

    Glorioso.

  6. Elevo a la cero xD

    y si elevo -4^0 me da 1 o -1????

  7. AleieX

    Desde luego, haz la prueba:

    -4^0 = -4^-1 * -4^1 = -4/-4 = 1

  8. Ale

    y que pasa se eleva una matriz a cero
    ej: [0 0] ^ 0

  9. AleieX

    hmm… no lo sé, quizás me lleve otros 10 años averiguarlo (o tal vez no) pero tal vez alguien que pase por aquí lo sepa 😀 el poder de internet!

  10. draco

    ni 1 sabe la respuesta al pregunta mas boluda¿por que todo numero elevado a la cero da como resultado 1? el que me responde bien tendra un lujoso prmio.

  11. lizett pallauta toro

    hola saben? todavia no entiendo el profesor .dio a explicar esto pero no tengo un razonamiento logico .no me han enseñado

    mi pregunta es ¿porque un numero elevado ha cero me da 1?

  12. AleieX

    Hola Lizett, te recomiendo que leas esta página desde el inicio o bien que observes detenidamente las imágenes donde explico paso a paso el razonamiento lógico que explica cómo es que cualquier número elevado a cero da uno.

    No te desesperes si no lo captas a la primera, puede tomar un rato.

    Saludos!

  13. Luigi

    hey gracias me salvaste de una de broncas jajaja bno esta muy completo y de nuevo gracias

  14. AleieX

    Me alegro que te sirviera Luigi, si lo usarás para tu tarea no olvides mencionar de dónde lo sacaste 😉

  15. totoxa

    Esta bueno, no sabia por que esto era asi, de esta forma deberian explicarlo en las escuelas, no que las cosas son asi solo por que son asi.

  16. daniela

    hola bueno no se
    si tu seas
    de poza rica pero yo voy a la
    esbo en la
    tarde
    y nos da la
    maestra mara lilia
    y ella no nos
    quizo decir el porq
    y pues yo
    quize saber
    y esta chida
    tu razonamiento
    eres chingon
    y no te ofendas
    bueno
    bye
    y gracias
    por
    aclarar mis
    dudas
    bueno bye

  17. Alex

    Parece que en tu repaso dice x^-1 = 1/x,y * x no es igual a 1.

  18. AleieX

    Alex, gracias por tu comentario. Estoy de acuerdo contigo en que en ese ejemplo X no es igual a 1, pero eso no es lo que significa sino “equis a la menos uno es igual a uno sobre equis” o sea que X(elevado a -1)= 1/X (uno entre equis).

    Saludos!

  19. tamara

    gracias, saben gracias a sus respuestas e podido entender un poco mas y poderme contestar esta pregunta

  20. Diana

    x^0=x^1*x^-1 para todo x0 !!!

    si x=0 no es válido x^-1

    Solo te queda salvar ese caso. Quizá por inducción.
    Utilizando límites con x->0 tambien funciona.

    Saludos!

  21. AleieX

    Tienes razón Diana, si X=0 este razonamiento ya no funciona, pero para no complicar las cosas podríamos concluir que se aplica para cualquier número excepto el 0.

    Voy a actualizar la entrada, muchas gracias!

  22. julieta

    No comprendo todabia porque recien estoy viendo el tema pero podrias explicarlo de otra manera asi puede ser que legue a entender porque lo nesesito para u traba que es este :
    Deacuerdo con la propiedades intanta justificar porque n a la 0=1 y n a la 1= n
    atte muchas gracias

  23. AleieX

    No sé cómo explicarlo más fácil, Julieta. Intenta leer nuevamente esta entrada y ten en cuenta las propiedades de los exponentes. Decir “n a la 0” es lo mismo que “X a la 0” o “b a la 0”, la letra no afecta en nada pues n o X quiere decir “cualquier número”.

    Y sobre n a la 1, recuerda que una multiplicación quiere decir “tantas veces tal cosa” y un exponente quiere decir “multiplicar tantas veces tal número por si mismo” o sea que n^1=1 porque sólo está una vez (n) mientras que n^2=2n=n*n

  24. fer

    hola bueno acabo de ver la entrada y me ayudo bastante gracias por ayudarme a comprender me salvaste la vida y parte de mi carrera jeje XD

    1. AleieX

      me alegro que te haya podido ayudar, si te gustó no olvides decir en dónde lo viste XD

  25. nadia

    tu si sabes pero porque da 1

  26. nadia

    aaaaaaaaaaaaaaaaa

  27. loco

    ej. [N*N]^0=1 ——–> [3*3]^0=[9]^0= 9^0=1

    CONCLUSION [n n]^0=1 pero n=!0 si n=0 es indefinido,es decir como puedes elevar nada a la nada.

  28. karina

    saluditos pues no entendi nadas jajaj bay

  29. karen

    hay mil grazias por thu explicacion. al principio no entendii peroo razones con cuidado y volvii a checarlo. esta informacion la utilize para el pase para hacer mi examen!! miil graziias te amoo!! =)

  30. koni

    Hola, necesito saber cual es el valor de (-2y)^0 ya sé que todo numero elevado a cero vale 1, pero que pasa con la letra y”? se ve afectada el signo menos favor explicar en palabras simples para entenderlo…… estare muy agradecida.

  31. AleieX

    la letra Y (o cualquier otra letra) representa “un número cualquiera” y a menos que Y=0, siempre es 1. y lo que dice tu ecuación es lo siguiente:

    (-2) por (cualquier número excepto 0) elevado a 0 es igual a 1

    No puede ser 0 porque en ese caso quedaría 0/0.

    Entonces la respuesta es: no importa qué letra uses, si ésta equivale a cualquier número, excepto el 0, siempre siempre siempre será igual a 1 si lo elevas a 0.

    Espero que esto conteste tu pregunta.

  32. alexis

    muchas gracias por el aporte yo tambien estudio matematica e hice un razonamiento similar con la diferencia que usaba 2 letras una “x´´ y una “y´´ la primera representaba a cualquier numero y la segunda lo tomaba como un simbolo nulo (cero) eso lo descubri haciendo pasajes en distintos sistemas de numeracion. Igual una explicacion mas clara que esta no hay, pasa que por ahi te salteas unos pasos logicos por asi decirlo y algunos no llegan a comprender. saludos y gracias muy bueno

  33. 0m4r

    he!! gracias me ayudaste con esto me daran 5 puntos de examen por esto wow x3

  34. 0m4r

    e igual esoty en secundaria y me preguntan esto :3

  35. Alex

    HOLA ME PUEDEN DECIR CUANTO ES (XY) ^0 X = 1 PERO QUE PASA CON “Y” SE AFECTA POR EL EXPONENTE

    1. AleieX

      La respuesta es muy sencilla, yo creo que puedes deducirla tú mismo 😉 piensa en qué pasa cuando tienes XY solitos, ¿eso qué significa? piensa en números si quieres, qué pasa cuando tienes (2)(3) (dos por tres) esos dos números son uno solo, 6, lo mismo pasa en Álgebra, pero X significa cualquier número, y Y significa cualquier otro número. Como si tuvieras (15)(34) o (8)(16) o cualquier otra combinación…

      así que… tú dinos, ¿qué pasa con Y?

  36. mary

    alguien me puede decir esta respuesta si la base es 1008937392178 y el exponente 137892379 cuantos es porfa es para un examen de mate ayúdenme

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